Partition Equal Subset Sum

partition-equal-subset-sum/main.md

@@ -2,7 +2,6 @@
 date: 2026-08-01
 tags:
   - leetcode
-  - review
 url: https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum
 ---
 
@@ -73,7 +72,7 @@ class Solution:
         return helper(0, array_sum // 2)
 ```
 
-最初に書いたのはこれだが、偶然これでも通ってるのは、最後の要素が必ずどちらかの集合に属するから
+最初に書いたのは以下だが、偶然これでも通ってるのは、最後の要素が必ずどちらかの集合に属するから
 
 ```py
 class Solution:
@@ -100,8 +99,180 @@ class Solution:
 
 ### 実装2
 
-ボトムアップバージョン
+ボトムアップバージョンを書いてみる。
+久しぶりに書いたのでちょっと詰まったところがある
+
+- DPテーブルの形状は、再帰関数の引数がそのまま表の行と列に対応する。
+- 0 <= i < len(nums), 1 <= j <= target
+- dp[i][j]: nums[:i + 1]から選んで和がjとなるsubsetを作れるかどうか
+- 再帰の分岐は「nums[i]を使うとき」と「nums[i]を使わないとき」なので、そのままボトムアップ版でも上記の条件を使う
+
+```py
+class Solution:
+    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
+        # dp[i][j]: nums[:i + 1]から選んで和がjとなるsubsetを作れる. 0/1ナップザック
+        sum_of_nums = sum(nums)
+        if sum_of_nums % 2 == 1:
+            return False
+
+        target = sum_of_nums // 2
+        dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(len(nums))]
+        for i in range(len(nums)):
+            if nums[i] > target:
+                continue
+
+            for j in range(i, len(nums)):
+                dp[j][nums[i]] = True
+
+        for i in range(len(nums)):
+            for j in range(1, target + 1):
+                if j < nums[i]:
+                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
+                    continue
+
+                # nums[i]を使わないときとnums[i]を使うとき
+                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]
+
+        return dp[len(nums) - 1][target]
+```
+
+### 実装3
+
+上記のDPテーブルは1次元に落とせる
+
+```py
+class Solution:
+    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
+        sum_of_nums = sum(nums)
+        if sum_of_nums % 2 == 1:
+            return False
+
+        target = sum_of_nums // 2
+        dp = [False] * (target + 1)
+        dp[nums[0]] = True
+        for i in range(1, len(nums)):
+            for j in range(1, target + 1):
+            # for j in range(target, 0, -1) が正しい
+                if j < nums[i]:
+                    continue
+
+                if j == nums[i]:
+                    dp[j] = True
+                    continue
+
+                dp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]
+
+        return dp[target]
+```
+
+-> 間違い。上記は重複ありナップザックのときの解法になってしまう。内側のjのループで複数回`nums[i]`を用いた結果になることがある。
+
+- jのループを逆向きにすれば解決する
+  - なぜ？ -> jを順方向に回すと、`j - nums[i]`はすでにいくつか前のループで更新されている、つまりnums[i]を一度使った結果を元にもう一度numを使えてしまうが、降順にすると、`j - nums[i]`はまだ更新されていない領域なので前の行の値が保たれる = 更新は外側のループ1回につき1回だけとなるので、0/1ナップサックの要件を満たす。
+
+  ```py
+  class Solution:
+    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
+        total = sum(nums)
+        if total % 2:
+            return False
+
+        target = total // 2
+
+        # dp[j]: ここまで見た要素から選んで和 j を作れるか
+        dp = [False] * (target + 1)
+        dp[0] = True                          # 空集合
+
+        for num in nums:
+            if num > target:                  # 単独で超える要素は絶対に使えない
+                continue
+
+            for j in range(target, num - 1, -1):   # 降順。num 未満は変化しないので下限は num
+                dp[j] = dp[j] or dp[j - num]
+            if dp[target]:                    # 早期リターン
+                return True
+
+        return dp[target]
+  ```
 
 ### 実装3
 
 bitset DP
+
+- 上記一次元DPは[True, False, True, ...]という真偽値の列だが、これを整数1個の各ビットとして表現する
+  - T -> 1, F -> 0
+  - 第jビットがdp[j]に対応
+- `dp[j] = dp[j] or dp[j - num]`は、dp[j - num]のビットが立っているならdp[j]を立てる = 全てのビットをnumだけ左にずらして元と重ね合わせる（重ね合わせ = 和 = orに対応）
+  - `bits |= bits << num`
+
+- 向きの問題が消える
+  - 上記の更新式で全てのjに対して一括で更新がかかるので、jの走査向きによって、「更新ずみの値を読んでしまう」という問題がなくなる
+
+計算量は同じ
+
+```py
+class Solution:
+    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
+        total = sum(nums)
+        if total % 2:
+            return False
+        target = total // 2
+
+        bits = 1                      # 和 0 のみ作れる
+        for num in nums:
+            bits |= bits << num
+        return bits >> target & 1 == 1
+```
+
+### ナップサック問題との関連
+
+- 0/1 ナップサック
+  - 容量Wのリュックがある。品物iは重さw[i]、価値v[i]。各品物は使うか使わないかの二択。容量を超えない範囲で価値の合計を最大化する
+  - 品物を入れるか入れないかで場合分け
+  - 1次元DPで解く場合は内側ループを降順に回す
+
+- 本問題は、
+  - 品物i -> nums[i]
+  - 重さ -> nums[i]
+  - 価値 -> nums[i]
+  - 容量 -> sum(nums) // 2
+  - 最大化した価値 -> 作れる和の最大値
+  - 答え -> 最大値が容量ちょうどか？
+    と設定できる
+
+DP配列に格納される値
+
+- ナップサック -> 価値の最大値
+- 本問題 -> 和をちょうど作れるかどうかのbool
+
+- 無限ナップサック
+  - 同じ品物を何度も選ぶことができる
+  - [[leetcode/coin-change/main|Coin Change]]
+
+### 関連
+
+[[部分配列系問題のパターン]]
+
+## Step3
+
+```py
+class Solution:
+    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
+        total = sum(nums)
+        if total % 2 == 1:
+            return False
+
+        target = total // 2
+        dp = [False] * (target + 1)
+        dp[0] = True
+        for i in range(len(nums)):
+            # nums[:i + 1]から要素を選ぶとき
+            for j in range(target, 0, -1):
+                # 合計がjを満たす組み合わせがあるかどうか
+                if j < nums[i]:
+                    continue
+
+                dp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]
+
+        return dp[target]
+```